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\usepackage{dsfont} % 数学符号加粗

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%使表格美观
\usepackage{array}
\newcolumntype{M}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
%\newcolumntype{N}{@{}m{0pt}@{}}
\setlength\extrarowheight{3pt}
\renewcommand{\tablename}{表}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 插入代码相关宏包 使代码美观
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\usepackage{xcolor}

% 设置代码样式
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\lstdefinestyle{mystyle}{
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}

\lstset{style=mystyle} % 应用样式

% 主题设置（推荐简洁风格）
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% 自定义定理样式
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\newtheorem{mytheorem}{定理}
\newtheorem{mylemma}{引理}
\newtheorem{mycorollary}{推论}
\newtheorem{myexample}{例}

% 信息设置
\title[随机积分与布朗运动]{《金融数学》第3章：随机积分与布朗运动}
%\author{ZFW}
%\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[3.1.]  随机游动
    \begin{itemize}
    \item 随机游动的样本路径
    \item 期望与方差
    \end{itemize}

\item[3.2.]  条件期望与鞅
    \begin{itemize}
    \item 条件期望的概念、例子和性质，带域流的概率空间
    \item 连续鞅的概念、例子，适应于域流的随机过程
    \end{itemize}

\item[3.3.]  几何布朗运动
    \begin{itemize}
    \item 布朗运动的概念、带漂移的布朗运动、几何布朗运动
    \item 用几何布朗运动描述股票价格过程
    \end{itemize}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录2 }

\begin{enumerate}

\item[3.4.] 随机积分 
\begin{itemize}
\item 二次变差，均方收敛，布朗运动的二次变差，{ Levy} 定理。
\item { Ito} 积分的定义，{ Ito} 积分的性质。
\end{itemize}

\item[3.5.] { Ito} 公式和 { Girsanov} 定理
\begin{itemize}
\item 布朗运动的 { Ito} 公式，{ Ito} 过程的 { Ito} 公式。
\item 几何布朗运动，{ Vasicek} 随机利率模型。
\item 风险的市场价格，{ Radon-Nikodym} 导数，等价的概率测度。
\item { Girsanov} 定理，市场的等价鞅测度。
\end{itemize}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.1.1. 随机游动 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：记 $X_i$ 表示质点在时刻 $i$ 分别向左或向右移动，其分布为 
\[ \mathbb{P}[X_i=1] = p,\,\,\, \mathbb{P}[X_i=-1]=1-p=q.\]
设 $X_1,\cdots,X_n,\cdots$ 相互独立，记 $M_0=0, M_n=X_1+\cdots+X_n, n\ge 1$. \\ 
称随机过程 $\{M_n,n\ge 0\}$ 是一维随机游动。
}

\item  问题：
\begin{enumerate}
\item 画出随机游动 $\{M_n;n\in [0,10]\}$ 的一条样本路径。
\item 求 $M_n$ 的期望与方差。
\item 计算概率 $\mathbb{P} ( M_{100}\ge 30 ) $.
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.1.2. 随机游动的一条样本路径 $(0,1,2,3,4,3,2,3,4,3,4)$ }

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{fig-3-1-random-walk.png}
% \caption{ }
\end{figure}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.3. 随机游动的样本路径的模拟（Python代码） }

%\begin{python}
\begin{lstlisting}[language=Python]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N=10 #走10步
p=0.55 #每步向右移动的概率
q=0.45 #每步向左移动的概率
Y=np.random.rand(N) #独立同分布的随机数(0,1)区间内均匀分布
X=np.zeros(N)
for k in range(N):
    if Y[k]>=p:
        X[k]=1
    else:
        X[k]=-1
\end{lstlisting}
%\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide] {3.1.4.  }

%\begin{python}
\begin{lstlisting}[language=Python]
M=np.zeros(N+1)
M[1:N+1]=np.cumsum(X) #部分和
t=np.array(range(N+1))

fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)

ax.hlines(y=0,xmin=0,xmax=N+1)
ax.vlines(x=0,ymin=-N-1,ymax=N+1)

ax.plot(t,M,'b-o')
ax.set_xlabel('n = step')
ax.set_ylabel('M_n')

fig.savefig('fig-3-1-random-walk.png')
\end{lstlisting}
%\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.1.5.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{blue} 问题：设 $\{M_n,n\ge 0\}$ 是一维随机游动，设每步向右的概率为 $p$. \\ 
求 $M_n$ 的期望与方差。}

\item  解答：对应每步的随机变量 $X_k$ 的可能取值为 $1$ 和 $-1$, 概率为 $p$ 和 $q=1-p$. 于是 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}(X_k) &=& p-q, \\ 
\mathbb{E}(X_k^2) &=& p+q =1, \\ 
\text{Var}(X_k) &=& \mathbb{E}(X_k^2) - \mathbb{E}(X_k)^2 = 1 - (p-q)^2 = 4pq. 
\end{eqnarray*} 

因为每一步都是相互独立的，所以方差可以累加，得到 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}(M_n) &=& n(p-q), \\ 
\text{Var}(M_n) &=& 4npq. 
\end{eqnarray*} 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.1.6.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{blue} 问题：设 $\{M_n,n\ge 0\}$ 是一维随机游动，设每步向右的概率为 $p=0.6$. \\ 
求概率 $\mathbb{P}(M_{100}\ge 30)$. }

\item  解答：记 $N=100$, 由上一题可得 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}(M_N) &=& n(p-q) = 100\times (0.6-0.4) = 20, \\ 
\text{Var}(M_N) &=& 4npq = 4\times 100\times 0.6\times 0.4 = 96. 
\end{eqnarray*} 
由中心极限定理，可得
\begin{eqnarray*}
\frac{M_N - 20}{\sqrt{96}} \,\,\,\dot{\sim}\,\,\, N(0,1). 
\end{eqnarray*} 
于是求得概率 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P} ( M_N\ge 30 ) 
\approx \mathbb{P} \left( \frac{M_N - 20}{\sqrt{96}} \ge \frac{30-20}{\sqrt{96}} \right) = 1-0.8413 = 0.1587. 
\end{eqnarray*} 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.1.  随机过程发展简史 }

\begin{itemize}
\item  A. N. Kolmogorov
\item  J. L. Doob
\item  J. W. Gibbs
\item  L. E. Boltzmann
\item  J. H. Poincare
\item  A. Einstein
\item  N. Wiener
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.2. 连续型随机变量 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 设 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是概率空间，一个随机变量是指一个可测函数
\[X: (\Omega,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})). \]
}

\item 如果存在非负可积函数 $f(x)$ 使得随机变量 $X$ 的分布函数可写成
\[ F(x) = \mathbb{P}\{X\le x\} = \mathbb{P} \{\omega\in\Omega:X(\omega)\le x\} = \int_{-\infty}^x f(t)dt, \]
则称 $X$ 是{\color{red}连续型的随机变量}，并称 $f(x)$ 是其{\color{red}概率密度函数}。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.3. $\sigma$-域 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 设 $\mathcal{F}$ 是集合 $\Omega$ 的一些子集组成的集合。如果下述条件成立，
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 空集 $\varnothing$ 是 $\mathcal{F}$ 中的元素。}
\item  {\color{red} 如果 $A\in \mathcal{F}$, 那么补集 $\Omega-A$ 也属于 $\mathcal{F}$. }
\item  {\color{red} 如果 $A_1,A_2,\dots, A_n,\cdots$ 都属于 $\mathcal{F}$, 那么并集 $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$ 也属于 $\mathcal{F}$. }
\end{enumerate}
那么称 $\mathcal{F}$ 是集合 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$-域。 
}

\vfill 

\item  例子：实数集 $\mathbb{R}$ 上的 Borel 域 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 是包含所有区间 $(-\infty,x]$ 的最小的 $\sigma$-域。一个随机变量是指一个可测函数 $X: (\Omega,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$, 这是说，对任意 $x\in\mathbb{R}$, 事件 
\[ X^{-1}((-\infty, x]) = \{ \omega\in\Omega \mid X(\omega)\le x \} \]
是事件域 $\mathcal{F}$ 中的元素。这样就可以求概率 $\mathbb{P}\{X\le x\}$, 即 $X$ 的分布函数。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.4.  }

\begin{itemize}

\item  问题：写出正态分布的概率密度函数。

\item  解答：随机变量 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的概率密度函数为
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right). $$

\vspace{0.3cm}

\item  问题：写出标准正态分布的分布函数。

\item  解答：标准正态分布的分布函数为
$$\Phi(x) = \int _{-\infty}^x \phi(t)dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int _{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt. $$

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.5. 带域流的概率空间 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定义：称四元组 $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_t\}_{t\ge 0}, \mathbb{P})$ 是一个带域流的概率空间，是指：
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 三元组 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是一个概率空间。}
\item  {\color{red} 对任意实数 $t\ge 0$, 子集 $\mathcal{F}_t\subseteq \mathcal{F}$ 都是集合 $\Omega$ 上的 $\sigma$ 域。}
\item  {\color{red} 域流是指：对任意实数 $0\le s<t$ 都有 $\mathcal{F}_s\subseteq \mathcal{F}_t$. }
\item  {\color{red} 事件域 $\mathcal{F}_t$ 表示到时刻 $t$ 为止的所有信息组成的集合。}
\end{enumerate}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.6. 独立增量与平稳增量的随机过程 }

\begin{itemize}

\item  定义：称随机过程 $\{X(t):0\le t<\infty\}$ 有{\color{red}独立增量}，如果有限个不重叠的时间区间上的增量是相互独立的。即对任意 $$0\le t_1<t_2<\cdots<t_n<\infty,$$ 下述随机变量相互独立，
\[ X(t_2)-X(t_1), \, X(t_3)-X(t_2), \cdots, X(t_n)-X(t_{n-1}) .\] 

\vspace{0.3cm}

\item  定义：若对任意 $0\le t, 0<\tau$, 增量 $X(t+\tau)-X(t)$ 的分布与 $t$ 无关，只与时间区间的长度 $\tau$ 有关，则称这个随机过程有{\color{red}平稳增量}。

\vspace{0.3cm}

\item  例子：齐次泊松过程既有独立增量，又有平稳增量。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.7. 适应于域流的随机过程 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：称随机过程 $\{X(t):0\le t<\infty\}$ 适应于域流 $\{\mathcal{F}_t\}_{t\ge 0}$, 若每个 $X(t)$ 都是 $\mathcal{F}_t$-可测的。}

\item  随机变量 $X(t)$ 是 $\mathcal{F}_t$-可测的意思是：对任意实数 $x$, 事件 $\{X(t)\le x\}$ 都是事件域 $\mathcal{F}_t$ 中的事件。

\vspace{0.3cm}

\item  例子：考虑随机游动 $\{M_n,n\in [0,3]\}$, 写出这个随机过程生成的域流，即写出各事件域 $\mathcal{F}_n:=\sigma(M_0,\cdots,M_n)$ 所包含的事件。%，其中 $n=0,1,2,3,4,5$. 

\item  解答：所有的样本路径组成的集合为 
\begin{eqnarray*}
\Omega = \{ && (0,1,2,3), (0,1,2,1), (0,1,0,1), (0,1,0,-1), \\
 && (0,-1,0,1), (0,-1,0,-1), (0,-1,-2,-1), (0,-1,-2,-3) \hspace{0.5cm} \}. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.8.  }

\begin{itemize}

\item  解答（续）：各事件域为 
\begin{eqnarray*}
&& \mathcal{F}_0 = \sigma(M_0) = \{\varnothing, \Omega\},  \\ 
&& \mathcal{F}_1 = \sigma(M_0, M_1) = \{\varnothing, \Omega, \{(0,1,*,*)\}, \{(0,-1,*,*)\} \},  \\ 
&& \mathcal{F}_2 = \sigma(M_0, M_1, M_2) = \{\varnothing, \Omega, \{(0,1,2,*)\}, \{(0,1,0,*)\},  \\ 
&& \hspace{1cm}  \{(0,-1,0,*)\}, \{(0,-1,-2,*)\}, \text{前面这些子集的并集}  \}, \\ 
&& \mathcal{F}_3 = \sigma(M_0, M_1,M_2,M_3) = \mathcal{P}(\Omega) = \{ \Omega\, \text{的所有子集} \}. 
\end{eqnarray*}

\item  数一数：
\begin{enumerate}
\item  事件域 $\mathcal{F}_0$ 中有2个事件。
\item  事件域 $\mathcal{F}_1$ 中有4个事件。
\item  事件域 $\mathcal{F}_3$ 中有 $2^8=256$ 个事件。
\item  问题：事件域 $\mathcal{F}_2$ 中有多少个事件？%16个事件
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.9. 条件期望的一般定义 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是一个概率空间，$\mathcal{G}$ 是 $\mathcal{F}$ 的子 $\sigma$ 代数，设 $X$ 是一个 $\mathcal{F}$-可测的随机变量。如果存在一个 $\mathcal{G}$-可测的随机变量 $Y$, 使得对任意的 $A\in\mathcal{G}$, 都有
\[ \int_A Y(\omega)dP(\omega) = \int_A X(\omega)dP(\omega), \]
则称 $Y$ 为 $X$ 关于 $\mathcal{G}$ 的条件期望，记为 $\mathbb{E}[X \,|\, \mathcal{G}]=Y$.
}

\vspace{0.3cm}

\item  注：条件期望 $\mathbb{E}[X \,|\, \mathcal{G}]$ 是一个 $\mathcal{G}$-可测的随机变量，是随机变量 $X$ 在 $\mathcal{G}$ 的每个可测子集上按概率测度的平均。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.10. 例子 }

\begin{itemize}

\item  例子：设有两个事件 $A,B\in\mathcal{F}$, 考虑示性随机变量 $\mathds{1}_A$, $\mathds{1}_B$ 与事件域 
\[ \sigma(B) =\sigma(\mathds{1}_B)= \{\varnothing, \Omega, B,\bar{B}\}.\]

\begin{enumerate}
\item  计算随机变量{\color{blue}对事件}的条件期望 $\mathbb{E}[\mathds{1}_A \,|\, \Omega]$ 与 $\mathbb{E}[\mathds{1}_A \,|\, B]$. 
\item  计算随机变量{\color{blue}对事件域}的条件期望 $\mathbb{E}[\mathds{1}_A \,|\, \sigma(B)]$. 
\item  计算随机变量{\color{blue}对随机变量}的条件期望 $\mathbb{E}[\mathds{1}_A \,|\, \mathds{1}_B]$. 
\end{enumerate}

\item  解答： 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}[\mathds{1}_A \mid \Omega] &=& \int_\Omega \mathds{1}_A(x) dP(\omega\mid \Omega) 
= \int_A dP(\omega) = P(A), \\   
\mathbb{E}[\mathds{1}_A \mid B] &=& \int_\Omega \mathds{1}_A(x) dP(\omega\mid B) 
= \int_A  dP(\omega \mid B) = P(A\mid B), \\ 
\mathbb{E}[\mathds{1}_A \mid \bar{B} ] &=& P(A\mid \bar{B}).  
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.11. 条件期望的性质 }

\begin{itemize}

\item  条件期望的性质：
\begin{enumerate}
\item[(i)] 设事件域 $\mathcal{G}=\{\varnothing,\Omega\}$, 则有 $\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X]$.
\item[(ii)] 设 $X$ 是 $\mathcal{G}$-可测的，则有 $\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal{G}]=X$.
\item[(iii)] 设有事件域 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{H}$, 则有 $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X\,|\,\mathcal{H})\,|\,\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal{G}]$.
\item[(iv)] 设 $Y$ 是 $\mathcal{G}$-可测的，则有 $\mathbb{E}[XY\,|\,\mathcal{G}]=Y\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal{G}]$.
\end{enumerate}

\item  证明：首先理解条件期望的概念。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.12. 连续鞅的定义 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设 $\{X(t)\}_{t\ge 0}$ 是一个定义在概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上的连续时间的随机过程，且适应于域流 $\{\mathcal{F}_t\}_{t\ge 0}$. 称随机过程 $\{X(t)\}_{t\ge 0}$ 关于这个域流是一个连续时间鞅过程，如果满足下述两个条件：
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}对任意的 $0\le t<\infty$, 有 $\mathbb{E}[|X(t)|]<\infty$. } 
\item  {\color{red}对任意的 $0\le s<t<\infty$, 有 $\mathbb{E}[X(t)\,|\, \mathcal{F}_s ] = X(s)$. } 
\end{enumerate}
}

\vspace{0.3cm}

\item 例子：设 $\{N(t);t\ge 0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的泊松过程。

\begin{enumerate}
\item 描述 $\{N(t);t\ge 0\}$ 生成的域流。
\item 证明随机过程 $\{N(t)-\lambda t; t\ge 0\}$ 是一个连续鞅。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.2.13. 从一个随机变量出发构造一个鞅 }

\begin{itemize}

\item  定理3.2.1. 设有域流 $\{\mathcal{F}_t; t\in [0,T]\}$. 设有 $\mathcal{F}_T$ 可测的随机变量 $X$, 且 $\mathbb{E}[|X|]<\infty$. 
对每个时刻 $t\in [0,T]$, 定义随机变量 
\[ X(t)=\mathbb{E}[X\,|\,\mathcal{F}_t]. \]
则随机过程 $\{X(t); t\in [0,T]\}$ 是一个适应于域流 $\{\mathcal{F}_t; t\in [0,T]\}$ 的鞅。

\vspace{0.3cm}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item 验证 $X(t)$ 是 $\mathcal{F}_t$-可测的。
\item 验证对 $0\le t\le T$ 都有 $\mathbb{E}[|X(t)|]<\infty$.
\item 验证对 $0\le s<t\le T$ 都有 $\mathbb{E}[X(t)\,|\, \mathcal{F}_s] = X(s)$.
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.1. 布朗运动 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：布朗运动是指满足下述条件的随机过程 $\{W(t);t\ge 0\}$: }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}样本路径连续：$W(0)=0$, $W(t)$ 是 $t$ 的连续函数。}
\item  {\color{red}增量正态分布：$\forall t>s$, 有 $W(t)-W(s) \sim N(0,\sigma^2(t-s))$. }
\item  {\color{red}增量独立：不重叠的时间区间上的增量是相互独立的。 }
\end{enumerate}

\item  若 $\sigma=1$, 则称为标准布朗运动。

%\item  问题：画出布朗运动的样本路径。%，解释布朗运动是随机游动的某种极限。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.2. 布朗运动的样本路径 }

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=0.7\textheight, width=0.9\textwidth]{fig-3-3-1-brownian-motion.png}
% \caption{ }
\end{figure}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide] {3.3.1.3. 布朗运动的样本路径（Python代码） }

%\begin{python}
\begin{lstlisting}[language=Python]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N=50; Y=np.random.randn(N) #产生独立同分布的随机数
R=np.zeros(N+1); R[1:N+1]=np.cumsum(Y) #得到部分和序列
S=R/np.sqrt(N); t=np.linspace(0,1,N+1)

fig=plt.figure(); ax=fig.add_subplot(111)

ax.hlines(y=0,xmin=-0.2,xmax=1.2)  #画x坐标轴
ax.vlines(x=0,ymin=-2,ymax=2)  #画y坐标轴

ax.plot(t,S,'b-')  #折线就是线性插值
ax.set_xlabel('t = time')
ax.set_ylabel('S(t)')
\end{lstlisting}
%\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.4. 布朗运动是随机游动的连续化 }

\begin{itemize}

\item  问题：解释布朗运动是随机游动的某种极限。

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item 画出布朗运动的几条样本路径，与随机游动的样本路径作比较。
\item 将时间区间 $[0,t]$ 分成 $[nt]$ 等分，其中 $[\cdot]$ 是取整函数。
\item 设在 $[0,t]$ 时间内随机游动 $[nt]$ 步，每步移动的绝对距离为 $1/\sqrt{n}$.
\item 记 $W_n(t)$ 为这 $[nt]$ 步的总和。
\item 证明当 $n\to\infty$时，$W_n(t)$ 趋于服从正态分布 $N(0,t)$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.5. 布朗运动的基本性质 }

\begin{itemize}

\item  问题：设 $\{W(t);t\ge 0\}$ 是标准布朗运动，则有
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{E}[W(t)^2] = t$.
\item $\mathbb{E}[W(t)W(s)]=\min(t,s)$.
\end{enumerate}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item 按定义，$W(t)\sim N(0,t)$.
\item 不妨设 $s<t$, 将 $W(t)$ 写成 $[W(t)-W(s)]+W(s)$.
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.6. 带漂移的布朗运动 }

\begin{itemize}

\item 定义：一般的布朗运动，是指增量的分布为 $N(0,\sigma^2(t-s) )$. %当 $\sigma=1$ 时称为标准布朗运动。

\item  {\color{red}定义：带漂移率的布朗运动是指在布朗运动的定义中，将增量的分布改为，对任意 $t>s$, 有 $W(t)-W(s) \sim N(\mu (t-s),\sigma^2(t-s) )$, 即增量的均值不为零，且与时间区间长度成正比。}

\item 带漂移的布朗运动是下述随机微分方程的解：
\[ dS(t) = \mu dt + \sigma dW(t).\]

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.7. 标准布朗运动的概率分布 }

\begin{itemize}

\item  问题：计算标准布朗运动的概率分布 $P[W(t)\le w \,|\, W(t_0)=w_0]$.

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item 考虑时间区间 $[t_0,t]$, 增量 $W(t)-W(t_0)$服从正态分布。
\item 将条件概率写成绝对概率
\begin{eqnarray*}
 P\Big{[}W(t)\le w \,\Big{|}\, W(t_0)=w_0 \Big{]} 
 &=& P\Big{[}W(t)-W(t_0)\le w-w_0\Big{]} \\ 
 &=& \Phi \left( \frac{w-w_0}{\sqrt{t-t_0}} \right). 
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.8. 布朗运动的鞅性质 }

\begin{itemize}

\item  问题：设 $\{W(t);t\ge 0\}$ 是标准布朗运动，对任意 $t\ge 0$, 定义事件域
\[ \mathcal{F}_t = \sigma \Big{(} W(s);0\le s\le t \Big{)} . \]
则 $\{W(t);t\ge 0\}$ 关于域流 $\{\mathcal{F}_t;t\ge 0\}$ 是鞅。

\vspace{0.5cm}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item 对 $0\le s\le t$, 验证 $\mathbb{E}[W(t)|\mathcal{F}_s]=W(s)$. 
\item 使用布朗运动的独立增量性质和概率分布。
\item 使用条件期望的性质。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.1.9. 由随机变量生成的事件域 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设有定义在概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上的随机变量 $X$, 则由 $X$ 生成的事件域 $\sigma(X)$ 是指包含事件集 $\{ \{X\le x\}\,|\, x\in \mathbb{R}\} $ 的最小的 $\sigma$-域，即
\[ \sigma(X) = \bigcap \Big{\{} \mathcal{G}\,\Big{|} \, \mathcal{G} \textrm{ 是 } \sigma\textrm{-域，且 } \forall x\in\mathbb{R}, \textrm{ 有 }  \{X\le x\}\in\mathcal{G} \Big{\}}. \]
}

\item  解释：
\begin{itemize}
\item 随机变量 $X$ 是一个对应 $X:\Omega\to\mathbb{R}$. 
\item 事件 $\{X\le x\}$ 是指 $\{\omega\in\Omega\,|\, X(\omega)\le x\}$, 这是 $\Omega$ 的一个子集。 
\item 因为 $X$ 是 $\mathcal{F}$-可测的，所以 $\sigma(X)\subseteq\mathcal{F}$. 
\end{itemize}

\item  例子：设事件 $A\in\mathcal{F}$, 则随机变量 $\mathds{1}_A$ 是 $\mathcal{F}$-可测的，并计算 $\sigma(\mathds{1}_A)$. 
\item  解答：对实数 $x$, 事件 $\{\mathds{1}_A\le x\}$ 为 $\varnothing$, $\bar{A}$ 或 $\Omega$.  
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.2.1. 刻画股票价格的运动过程的几个模型 }

\begin{enumerate}
\item 1900年：巴切利尔，$dS(t)=\sigma dW(t)$.
\item 1905年，爱因斯坦，发散方程，正态分布。%$\frac{\partial f}{\partial t} = D\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$. 
\item 1961年：斯普瑞克，C. Sprenkle, 
\item 1964年：萨缪尔森，P. Samuelson, 几何布朗运动。%\,\, {\color{blue}$dS(t)=\mu S(t)dt + \sigma S(t) dW(t)$. }
\item 1973年：Black, Scholes and Merton, 
\item 1979年：Cox, Ross and Rubinstein, 二叉树模型。
\item 1993年：Heston, 随机波动率模型。
\item 2012年：深度学习
\item 2022年：大模型
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.2.2. 几何布朗运动 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：几何布朗运动是指随机过程 $$\{G(t) = e^{W(t)};\,\, t\ge 0\},$$ 其中 $\{W(t);t\ge 0\}$ 是一个漂移率为 $\mu$ 和方差为 $\sigma^2$ 的布朗运动。}

\vspace{0.3cm}

\item  注：
\begin{enumerate}
\item  与布朗运动比较，几何布朗运动的取值总是为正。
\item  $\frac{G(t)}{G(0)}$ 服从对数正态分布，即 $\ln \frac{G(t)}{G(0)}$ 服从正态分布 $N(\mu t, \sigma^2t)$. 
%\item  写出 $\frac{G(t)}{G(0)}$ 的概率密度函数。
\end{enumerate}

\item  几何布朗运动
\begin{eqnarray*}
S(t) = S_0 \exp \left[ (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W(t)\right], t\ge 0. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.2.3.   }

\begin{itemize}

\item  问题：如何检验几何布朗运动是否较好地刻画股票价格的运动过程？

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.2.4. 几何布朗运动的概率计算 }

\begin{itemize}

\item  问题：计算几何布朗运动的概率分布：
\begin{enumerate}
\item 计算期望 $\mathbb{E}[ G(t) \,|\, G(0)=g_0]$.
\item 计算方差 $\mathrm{Var}[ G(t) \,|\, G(0)=g_0]$.
\end{enumerate}

\item  解答：首先写出 $\frac{G(t)}{G(0)}$ 的概率密度函数。
\begin{enumerate}
\item 由数学期望的计算公式得。
\item 由方差的计算公式得。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.2.5. 几何布朗运动是股票价格的二叉树模型的极限 }

\begin{enumerate}

%\item 在风险中性测度下，二叉树模型的极限是几何布朗运动。
\item 设 $S(t)$ 是股票在 $t$ 时刻的价格，$t\ge 0$, 设初始价格 $S(0)=S_0$.  
\item 设 $\Delta t = t/n$, 在 $\Delta t$ 时间内，股票上涨或下降的幅度分别为
\[ u=e^{\sigma\Delta t}, \,\, d=e^{-\sigma\Delta t}. \]
\item 设随机变量 $Y_i$ 表示第 $i$ 个区间内上涨或下降，取值为1或0.
\item 记 $Y=Y_1+\cdots+Y_n$, 则 $S(t)=S_0u^Yd^{n-Y}$. 
\item 由中心极限定理，当 $n\to\infty$, $\ln(S(t)/S_0)$ 趋于服从正态分布。
\item 得出结论：$\{S(t);t\ge 0\}$ 是一个几何布朗运动。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.3.2.6. 漂移率、波动率与无风险利率的关系 }

\begin{enumerate}

\item 设 $r$ 为无风险利率。设风险中性概率为 $ (q,1-q)$. 
\item 设每个区间内的涨跌幅度分别为 $u=e^{\sigma\Delta t}$ 和 $d=e^{-\sigma\Delta t}$. 
\item 由中心极限定理验证 $\mathbb{E}[\ln (S(t)/S_0)] = \mu t$ 和 $\textrm{Var}[\ln (S(t)/S_0)] = \sigma^2 t$. 
\item 故 $\mathbb{E}[S(t)] = S_0\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t\right)$, 由此得 $q=\frac{e^{(\mu+\frac{\sigma^2}{2})\Delta t}-d}{u-d}$. 
\item 另一方面，由于无风险利率为 $r$, 得 $q=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}$. 
\item 得出结论：则 $r = \mu + \frac{\sigma^2}{2}$.

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4. 随机积分 }

\begin{itemize}

\item[3.4.1.]  二次变差

\item[3.4.2.]  { Ito} 积分

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4.1.1. 二次变差  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：函数 $\{f(t),t\in [0,T]\}$ 相对于划分 
$$ \Pi: 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T $$ 
的二次变差定义为
\[ Q_\Pi = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \Big{[} f(t_{k+1})-f(t_k) \Big{]}^2. \] 
}

\item 验证：可微函数的二次变差等于零。

\item 布朗运动的二次变差是多少？

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4.1.2.  }

\begin{itemize}

\item  定理：一个连续时间随机过程 $\{W(t);t\ge 0\}$ 如果符合下述条件，则就是一个标准布朗运动，
\begin{enumerate}
\item $W(0)=0$; 
\item $W$ 是个鞅过程；
\item  在任意时刻 $t$ 的二次变差正好是 $t$. 
\end{enumerate}

\item  记 $dW(t) = W(t+dt)=W(t)$. 则有 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}[(dW(t))^2] =dt, \,\,\, 
\text{Var}[(dW(t))^2] =2(dt)^2.  
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4.2.1.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设 $\{f(t);t\in [0,T]\}$ 是一个随机过程，且关于布朗运动 $\{W(t);t\in [0,T]\}$ 是不可测的。在上述RS积分中，令 $\alpha=1$, 即在每个小区间总是取左端点。在分划不断加细的过程中，如果上述随机变量序列的均方极限存在，则称该极限为这个随机过程的 Ito 积分，记作
\[ I(T) = \int_0^T f(t)dW(t) = \lim\limits_{\lambda\to 0} \sum\limits_{i=0}^{n-1}f(t_i) [W(t_{i+1})-W(t_i)]. \] 
}

\item  问题：设 $f(t)=W(t)$, 计算验证 $\mathbb{E}[I(T)]=T$. 


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4.2.2. { Ito} 积分的一个例子  }

\begin{itemize}

\item  例3.1. 设 $f(t)=W(t)$, 验证如下 { Ito} 积分的计算 
\[\int_0^T W(t)dW(t) = \frac{1}{2} W(T)^2 - \frac{T}{2}. \] 

\item  解答：
\begin{itemize}
\item 按照 RS 积分的定义，先有区间的一个分划。
\item 按照 Ito 积分的定义，每个小区间选取左端点。然后化简计算。
\item 上述积分等式写成微分形式为如下，这也是 Ito 公式的一个例子。
\[ 2W(t)dW(t) =d[W(t)^2] -dt. \]
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4.2.3. { Ito} 积分的性质 }

\begin{itemize}

\item  定理：设 $\{f(t);t\in [0,T]\}$ 是简单过程或适应于域流 $\{\mathcal{F}_t\}_{t\in [0,T]}$ 的平方可积过程，
即 $\mathbb{E}[\int_0^T f(t)^2dt] <\infty$. 
则下述 { Ito} 积分有一些性质： $$ I(t)=\int_0^t f(u)dW(u).$$ 
\begin{enumerate}
\item 对每个 $t\in [0,T]$, 随机变量 $I(t)$ 是 $\mathcal{F}_{t^-}$ 可测的。
\item Ito 积分运算是线性的，且 $\{I(t);t\in [0,T]\}$ 是鞅。
\item 等距性质：$\mathbb{E}[I(t)^2] = \mathbb{E} [\int_0^t f(u)^2du]$.
\item 二次变差的计算公式：$[I,I](t) = \int_0^t f(u)^2du$.
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.4.2.4.  从一个鞅得到另一个鞅 }

\begin{itemize}

\item  定理：设 $(\Omega, \{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0},P)$ 是一个带域流的概率空间。设随机过程 $\{X_k\}_{k\ge 0}$ 关于这个域流是适应的，设随机过程 $\{\Phi_k\}_{k\ge 0}$ 关于这个域流是可预见的。设 $Z_0$ 是一个常数，定义如下随机过程 \[ Z_k = Z_0 + \Phi_1(X_1-X_0) + \cdots + \Phi_k(X_k-X_{k-1}). \]

\item  如果 $\{X_k\}_{k\ge 0}$ 在测度 $P$ 下关于这个域流是鞅过程，那么 $\{Z_k\}_{k\ge 0}$ 在这个测度下关于这个域流也是一个鞅过程。

\item  这里的 $Z$ 类似于 $\Phi$ 关于 $X$ 的积分：
\[ Z_k = \sum\limits_{i=1}^{k} \Phi_{i+1} (X_{i+1}-X_i),\,\,\, k=0,1,2,\cdots. \]

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.1.1. 布朗运动的 { Ito} 公式 }

\begin{itemize}

\item  定理：设函数 $f(t,x)$ 是二阶连续可导的，设 $\{W(t);t\in [0,T]\}$ 是标准布朗运动。则有
\begin{eqnarray*}
f(T,W(T)) &=& f(0,W(0)) + \int_0^T f_x(t,W(t))dW(t) \\
&& +  \int_0^T \left[ f_t(t,W(t)) + \frac{1}{2} f_{xx}(t,W(t)) \right] dt. 
\end{eqnarray*}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  将函数 $f(t,x)$ 按照泰勒公式展开。
\item  应用 $[dW(t)]^2 = dt$, 并舍弃高阶无穷小量。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.1.2. { Ito} 过程的定义 }

\begin{itemize}

\item 设 $\{W(t);t\in [0,T]\}$ 是标准布朗运动。
\item 设 $\{\mathcal{F}_t\}_{t\in [0,T]}$ 是相应的域流。
\item 设 $\{\mu(t);t\in [0,T]\}$ 和 $\{\sigma(t);t\in [0,T]\}$ 是两个随机过程。
%适应于该域流的分别为绝对可积和平方可积
\item 则称 $\{X(t);t\in [0,T]\}$ 是一个 {\color{red} Ito 过程}，其中
\[ X(t) = X(0) + \int_0^t\mu(s)ds + \int_0^t \sigma(s)dW(s). \]

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.1.3. { Ito} 过程的微分形式 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：下述关于微分的等式
\[ dX(t) = \mu(t)dt + \sigma(t) dW(t) \] 
的含义是下述关于积分的等式：
\[ X(t) = X(0)+ \int_0^t \mu(s)ds + \int_0^t \sigma(s)dW(s). \]
}

\item 与普通的微积分的含义不同。

\item 这里的微分等式要从积分等式的角度来理解。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.1.4. { Ito} 公式的积分形式和微分形式 }

\begin{itemize}

\item  积分形式：
\begin{eqnarray*}
&& f(T,W(T)) - f(0,W(0)) \\
&=& \int_0^T f_x(t,W(t))dW(t)  +  \int_0^T \left[ f_t(t,W(t)) + \frac{1}{2} f_{xx}(t,W(t)) \right] dt. 
\end{eqnarray*}

\item  微分形式：
\begin{eqnarray*}
&& df(t,W(t))  \\
&=& f_x(t,W(t))dW(t)  +  \left[ f_t(t,W(t)) + \frac{1}{2} f_{xx}(t,W(t)) \right] dt. 
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.1.5. 几何布朗运动模型 }

\begin{itemize}

\item  例3.2. 求解如下几何布朗运动模型：
\[ dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t). \]

\item  解答：
\begin{itemize}
\item 应用 { Ito} 公式，对 $\ln S(t)$ 求微分，然后两边在 $[0,T]$ 积分。
\item 求得解答：
\[ S(t) = S(0) \exp \left[ \left( r-\frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W(t) \right].  \]
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.1.6. { Vasicek} 随机利率模型 }

\begin{itemize}

\item  例3.3：求解如下 { Vasicek} 随机利率模型：
\[ dr(t) = (\alpha-\beta r(t))dt + \sigma dW(t). \] 

\item  解答：

\begin{itemize}
\item 应用 { Ito} 公式，对 $e^{\beta t}r(t)$ 求微分，然后两边在 $[0,t]$ 积分。
\item 求得解答：$r(t)$ 可以写成一个 { Ito} 积分的形式。
\item 进一步计算：$\mathbb{E}[r(t)]$ 与 $\mathrm{Var}[r(t)]$.
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.2.1. 风险的市场价格 }

\begin{itemize}

\item  问题：如何理解风险的市场价格可以如下描述：$$\lambda = \frac{\mu-r}{\sigma}. $$ 

\item  解答：
\begin{itemize}
\item 考虑两个不同的股票，其价格过程服从两个随机微分方程：
\begin{eqnarray*}
dS_1 &=& \mu_1 S_1 dt + \sigma_1 S_1 dW(t) \\
dS_2 &=& \mu_2 S_2 dt + \sigma_2 S_2 dW(t) 
\end{eqnarray*}
\item 构造自融资的投资组合 $V=\alpha S_1 + \beta S_2$. 若 $V$ 是无风险的，则有$dV=rVdt$, 于是 $(\mu_1-r)/\sigma_1 = (\mu_2-r)/\sigma_2$.  
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.1. { Radon-Nikodym} 导数 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设 $P$ 和 $Q$ 是可测空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的两个测度。
如果存在非负可测函数 $f$ 使得对任意 $A\in\mathcal{F}$, 都有 
\[ Q(A) = \int_A f(\omega) dP(\omega), \]
则称 $Q$ 关于 $P$ 是绝对连续的，称 $f$ 为 $Q$ 关于 $P$ 的 { RN} 导数。
}

\item  定义：互为绝对连续的两个概率测度称为等价。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.2. 测度变换的例子 }

\begin{itemize}
\item 设概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$, 设随机变量 $X:\Omega\to\mathbb{R}$ 服从标准正态分布。
\item 考虑平移变换 $Y=X+\theta$.
\item 求测度 $Q$, 使得 $Y$ 在概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},Q)$ 中仍服从标准正态分布。
\item 答案：若测度 $Q$ 由下式定义，则有 $Q(Y\le y)=\Phi(y)$. 
\[ \frac{dQ}{dP} = \exp\left[ -\frac{\theta^2}{2} - \theta X  \right]. \]
\end{itemize}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.3. 测度变换的例子：继续计算 }

\begin{itemize}

\item  命题：标准正态分布的平移，在一个新的测度下仍然服从标准正态分布。

\item  解答：
\begin{itemize}
\item 测度 $P: \mathcal{F}\to\mathbb{R}$, 事件 $A$ 的测度为 $P(A)$.
\item 测度 $Q: \mathcal{F}\to\mathbb{R}$, 事件 $A$ 的测度为 $Q(A)$.
\item 计算 $Q(Y\le y)$, 解释六个等号的理由。
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.4. { Girsanov} 定理的条件 }

\begin{itemize}

\item 设 $\{W(t);t\in [0,T]\}$ 是概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上的标准布朗运动。
\item 设 $\{\mathcal{F}_t\}_{t\in [0,T]}$ 是该布朗运动相应的域流。
\item 设随机过程 $\{\theta(t);t\in [0,T]\}$ 适应该域流，且满足 { Novikov} 条件：
\[ \mathbb{E} \left[\exp \left(\frac{1}{2}\int_0^T \theta(t)^2dt \right) \right] <\infty. \] 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.5. { Girsanov} 定理的结论 }

\begin{itemize}

\item 定义函数 $Z(t) = \exp(-\int_0^t\theta(s)dW(s)-\frac{1}{2}\int_0^t \theta(s)^2ds)$.
\item 定义新的测度 $\tilde{P}$ 使得 $Z(t) = \frac{d\tilde{P}}{dP}|_{\mathcal{F}_t} = \mathbb{E}^P [Z(T) | \mathcal{F}_t]$. 
\item 则在新的测度 $\tilde{P}$ 下，下述 { Ito} 过程是 $(\Omega,\mathcal{F},\tilde{P})$ 上的布朗运动。
\[ \left\{\tilde{W}(t) = \int_0^t \theta(s)ds + W(t);\,\,\, t\in [0,T]\right\} .\]  

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.6. { Girsanov} 定理的证明 }

\begin{enumerate}

\item 证明 $Z$ 在测度 $P$ 下是个鞅。
\item 证明 $Z\tilde{W}$ 在测度 $P$ 下是个鞅。
\item 证明 $\tilde{W}$ 在测度 $\tilde{P}$ 下是个鞅。
\item 由 { Levy} 定理，$\tilde{W}$ 在测度 $\tilde{P}$ 下是个布朗运动。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {3.5.3.7. { Girsanov} 定理应用于风险市场 }

\begin{itemize}

\item 设股票和债券的价格过程服从 
\begin{eqnarray*}
dS(t) &=& \mu S(t)dt + \sigma S(t) dW(t),\\
dB(t) &=& rB(t)dt.
\end{eqnarray*}
\item 股票的贴现价格 $S^*(t)=S(t)/B(t)$ 由下述过程描述： 
\[ \frac{dS^*(t)}{S^*(t)} = (\mu-r) dt + \sigma dW(t). \]
\item 设 $d\tilde{W}(t) = dW(t) + \frac{\mu-r}{\sigma}dt$, 则上式变成
\[ \frac{dS^*(t)}{S^*(t)} = \sigma d\tilde{W}(t). \]

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {作业3 }

\begin{enumerate}

\item[3.1.]  设 $\{W(t);t\ge 0\}$ 是标准布朗运动，设 $k$ 是一个正实数。证明下述定义的随机过程也是一个布朗运动：
\[ \{X(t)= kW(t/k^2); t\ge 0\}.\] 

\item[3.3.] 设 $\{W(t);t\ge 0\}$ 是标准布朗运动，证明 $\mathbb{E}[W(t)^4]=3t^2$. 

\item[3.6.] 设 $\{W(t);t\ge 0\}$ 在概率测度 $P$ 下是标准布朗运动，$\{\mathcal{F}_t;t\ge 0\}$ 是与它相适应的域流。
证明在概率测度 $P$ 下，下述过程是鞅：
\[ \{W^2(t)-t;t\ge 0\}. \]

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {作业3 }

\begin{enumerate}

\item[3.9.]  设 $\{W(t);t\ge 0\}$ 是标准布朗运动。
\begin{enumerate}
\item 应用 { Ito} 公式，计算积分 $\int_0^T W(t)^ndW(t)$. 
\item 求积分 $\int_t^T [W(u)-W(t)]dt$ 的期望与方差。
\item 求解如下 { Langevin} 方程，并求 $X(t)$ 的期望和方差：
 $$ dX(t)=\mu X(t)dt + \sigma dW(t).$$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{参考文献}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{zfw} 张寄洲，傅毅，王杨，金融数学，科学出版社，2015年4月第1版。

\end{thebibliography}

\end{frame}

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\end{document}
